🏛 Лекторий [Андрей Райгородский] Введение в теорию вероятностей (2024)

[Calvin Candie]

Автор: Андрей Райгородский
Название: Введение в теорию вероятностей (2024)

Описание

В уникальной форме познакомитесь с основами теории вероятностей — рассмотрите вероятностные объекты и методы на примерах решения комбинаторных задач. Это позволит вам использовать вероятности в теории графов, случайных графов, веб-графов и прочих сложных сетей.

Что будет на курсе:

• Основные понятия теории вероятностей
• Предельные теоремы
• Вероятностная техника для решения комбинаторных задач

Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики.
С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса.

Программа

1. Классическое определение вероятности
2. Условные вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса
3. Схема испытаний Бернулли
4. Случайные величины
5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
6. Применение схемы Бернулли к задаче о раскраске
7. Независимые случайные величины и закон больших чисел
8. Предельные теоремы
9. Геометрическая вероятность
10. Колмогоровская аксиоматика
11. Абсолютно непрерывные случайные величины
12. Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин
13. Метод моментов

• 
  Предельные теоремы. Математическое ожидание и дисперсия числа успехов в схеме Бернулли. Теорема Пуассона.
• Доказательство теоремы Пуассона.
• Теорема Муавра — Лапласа.
• Задача о двух гардеробах.
• Решение задачи о двух гардеробах.
• Задача про пьяницу.
• Применение неравенства Чебышева.
• Применение интегральной предельной теоремы.
• Экспоненциальная вероятность.
• Задача о случайных цифрах.
• Задача о стенографисте.
• Задача о благотворительном фонде.
• Задача об асимптотике вероятности фиксированного числа успехов.

9. Геометрическая вероятность

• Геометрическая вероятность.
• Задача о встрече.
• Решение задачи о встрече для случая дискретного времени.
• Решение задачи для случая непрерывного времени, геометрическая вероятность.
• Парадокс Бертрана.
• Задача о нахождении минимального числа пустых треугольников.
• Вероятностный метод в задаче о нахождении минимального числа пустых треугольников.
• Задача о касательных к окружности.
• Задача о двух случайных точках на отрезке.
• Задача о трёх случайных точках на окружности.
• Задача о треугольнике, составленном из трёх случайных отрезков.

10. Колмогоровская аксиоматика

• Колмогоровская аксиоматика. Отличия понятий гемеотрической и классической вероятностей.
• Колмогоровское определение вероятностного пространства: сигма-алгебра событий.
• Колмогоровское определение вероятностного пространства: вероятность.
• Интуитивное определение случайной величины.
• Борелевская сигма-алгебра.
• Случайная величина и функция распределения.
• Свойства функции распределения.
• Задача об операциях, определяющих алгебру.
• Задача о пересечении сигма-алгебр.

11. Абсолютно непрерывные случайные величины

• Абсолютно непрерывные случайные величины. Дискретные распределения: определение и примеры.
• Распределение Пуассона.
• Абсолютно непрерывные распределения: определение.
• Равномерное распределение.
• Стандартное нормальное распределение.
• Нормальное распределение.
• Экспоненциальное и хи-квадрат распределения.
• Сингулярные распределения.
• Математическое ожидание и дисперсия.
• Математическое ожидание функции от случайной величины.
• Моменты случайной величины.
• Независимые случайные величины.
• Задача о моментах стандартной нормальной случайной величины.
• Задача о преобразовании стандартной нормальной случайной величины.
• Задача о случайных величинах без математического ожидания.
• Задача о преобразовании случайной величины с распределением Коши.

12. Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин

• Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева и закон больших чисел.
• Виды сходимостей случайных величин.
• Из сходимости по вероятности не следует сходимости почти наверно.
• Усиленный закон больших чисел.
• Центральная предельная теорема.
• Формула свёртки.
• Другие функции.
• Задача о порядковых статистиках.
• Задача о плотности разности независимых случайных величин.
• Задача о вычисления вероятностей.
• Задача о видах сходимостей случайных величин.
• Задача о сумме независимых биномиальных случайных величин.

13. Метод моментов

• Метод моментов. Связь первых моментов и распределения случайной величины.
• Факториальные моменты.
• Формула обращения.
• Пуассоновская аппроксимация.
• Деревья в случайном графе.
• Отсутствие деревьев.
• Пуассоновское число деревьев: вычисление математического ожидания.
• Пуассоновское число деревьев: вычисление второго факториального момента.
• Пуассоновское число деревьев: вычисление остальных факториальных моментов.
• Задача о пороговой вероятности, предел вероятности равен нулю.
• Задача о пороговой вероятности, предел вероятности равен единице.
• Задача о формуле обращения.
• Задача о производящей функции.
• Доказательство центральной предельной теоремы в случае конечных моментов.

Подробнее:

Скачать:

Для просмотра скрытого содержимого вы должны войти или зарегистрироваться.